Matematiker som sysslar med numerisk analys utvecklar algoritmer för problem som är för komplicerade för att kunna lösas exakt. Forskarna använder i stället metoder som ger mycket nära och användbara approximationer.

En som valt att fördjupa sig i numerisk analys är Sara Zahedi, professor vid KTH.

– Jag drivs av att ta mig an svåra utmaningar och att hitta en lösning som kan användas generellt och brett. Det finns en skönhet i det.

För en matematiker är differentialekvationer en hörnsten – och ett universellt språk för att undersöka företeelser som förändras över tid, till exempel befolkningsökningar, spridning av sjukdomar eller hur ett läkemedel bryts ner i kroppen.

Fysikens grundläggande lagar

Differentialekvationer är också det matematiska fundamentet i datorsimuleringar, som i allt större utsträckning har börjat ersätta experiment som ofta är dyra och tar tid. Datorn används som ett beräkningsverktyg för att approximera lösningar som är för komplexa för att räknas ut för hand.

Sara Zahedi fokuserar på att utveckla avancerade beräkningsmetoder för datorsimuleringar som följer fysikens grundläggande lagar.

– Datorsimuleringar spelar redan i dag en avgörande roll för att till exempel förutsäga klimatförändringar eller för att förstå komplexa biologiska processer som pågår i en cell eller i ett organ.

Målet är att skapa effektiva och noggranna verktyg för simuleringar av objekt som förändras under påverkan av krafter, tryck, värme eller rörelse. 

Ett exempel är hjärtklaffar, där samspelet mellan klaffarnas rörelser och blodflödet säkerställer att blodet pumpas i rätt riktning vid rätt tidpunkt.

Anpassning till ny geometri

För att lösa differentialekvationer använder sig Sara Zahedi bland annat av finita elementmetoden, där ett beräkningsområde delas upp i ett geometriskt rutnät bestående av många mindre bitar.

Men finita elementmetoden har sina begränsningar. När geometrin förändras kraftigt måste beräkningsnätet anpassas till den nya geometrin, vilket kan vara både svårt och beräkningstungt.

Sara Zahedi har därför utvecklat den skurna finita elementmetoden – CutFEM. Tack vare den har hon och hennes kollegor bland annat kunnat studera hur vätskor och celler rör sig och ändrar form utan att nätet i datorsimuleringen måste uppdateras hela tiden.

Jag drivs av att ta mig an svåra utmaningar och att hitta en lösning som kan användas generellt och brett. Det finns en skönhet i det.

Inom ramen för anslaget som Wallenberg Academy Fellow har hon kunnat vidareutveckla CutFEM och göra metoden mer träffsäker. 

– Med CutFEM kan vi i dag simulera komplexa och rörliga geometrier utan att behöva anpassa beräkningsnätet efter geometrin, samtidigt som noggrannhet och robusthet i metoden bibehålls. På senaste tiden har vi vidareutvecklat CutFEM till att bevara viktiga fysikaliska egenskaper som massa och inkompressibilitet.

Effektiva simuleringar

Sara Zahedi ser en tydlig samhällsnytta med att datorsimuleringar i allt större utsträckning kan ersätta traditionella experiment, inte minst för att utveckla nya läkemedel. Hon inspireras av utmaningen att hantera stora mängder av rörliga objekt och partiklar.

För att utveckla arbetet med beräkningsmodeller för många rörliga former har hon studerat mikrobubblor som kan passera blod-hjärnbarriären och leverera läkemedel till specifika områden i kroppen. Vid den typen av tillämpningar används ett mycket stort antal mikrobubblor samtidigt.

Tillsammans med sin forskargrupp utvecklar hon så kallade surrogatmodeller. Istället för att simulera ett helt system på en gång studerar gruppen hur en enskild partikel påverkar flödet. Resultaten kombineras sedan för att uppskatta effekten av tusentals partiklar.

– Den här typen av simulering är väldigt kostnadseffektiv. Målet är att kunna göra noggranna beräkningar på en vanlig laptop. Samtidigt vill jag poängtera att vi hela tiden använder CutFEM för att validera och förbättra surrogatmodellerna, säger Sara Zahedi.

Surrogatmodell i 3D

Hon arbetar nu vidare med att inkludera maskininlärning i surrogatmodellerna för att kunna hantera andra geometrier än cirkulära former. Nästa steg blir att utveckla en surrogatmodell i 3D som också kan ta sig an deformerbara geometrier.

– Jag strävar alltid efter att hitta lösningar eller metoder som kan vara generella och användbara i många olika sammanhang.

För att genomföra den här typen av forskning krävs goda förutsättningar, poängterar Sara Zahedi:

– Anslaget från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse ger mig möjlighet att ta ut svängarna och våga ta risker, det är jag väldigt tacksam för.

Text Ylva Carlsson
Bild Magnus Bergström