Geometri är läran om rum och objekt i rum. Ordet symplektisk härrör ursprungligen från grekiska och betyder komplex. Men ordet komplex är inom matematiken upptaget i termen komplexa tal. Symplektiska rum uppfanns för att formulera den klassiska fysiken.

Man kan alltså använda symplektisk geometri för att förstå himlakropparnas banor i universum, vars rörelser följer de fysikaliska lagarna. Det symplektiska rummets koordinater beskriver i detta fall inte bara himlakroppens position, utan också dess hastighet. Detta rum är alltid av jämn dimension, eftersom det behövs lika många koordinater för att beskriva hastigheten som det behövs för att beskriva positionen.

– Det fascinerande är att den symplektiska geometrin sedan har visats kunna vara relevant för att förstå många andra matematiska fenomen, framför allt inom andra olika typer av geometrier, och alltså inte bara för att förstå fysikaliska system, säger Georgios Dimitroglou Rizell, universitetslektor i matematik vid Uppsala universitet.

Hans kontor ligger på fjärde våningen i den äldre delen av Ångströmlaboratoriet och har milsvid utsikt över Uppsalaslätten. På en av väggarna sitter en modern digital svart tavla, som ”minns” vad professorn och forskare i hans grupp ritat på den. Tavlan används bland annat för att titta på ritade visualiseringar av symplektiska rum.

Att tänka i bilder är något som Dimitroglou Rizell gillar.

– Det faller sig naturligt för mig att angripa problem på ett visuellt sätt.

Inom klassisk geometri är figurerna – cirklar, tringlar och rektanglar – stela. De har konstanta linjära former. Men inom den nisch som kallas topologi och där Georgio Dimitroglou Rizell verkar som forskare, kan geometriska strukturer även vara mjuka eller töjbara – som om de var gjorda av gummi.

Löser problem

Ett exempel på ett objekt som kan bäddas in i och studeras genom de symplektiska rummet är knutar. En sådan geometrisk knut är lik ett knutet och trassligt snöre, vars båda ändar har enats för att de ska bilda en sluten ögla.

Som modell kan denna kunskap användas för att förstå celler och proteiner och deras strukturer.

– Ett protein liknar ibland en tilltrasslad knut. En biolog kan exempelvis behöva förstå hur egenskaperna för denna knut påverkar proteinets funktion och behöver matematiska verktyg.

Men symplektiska rum dyker inte bara upp naturligt inom molekylärbiologi, utan också inom andra forskningsområden.

För forskarna är rummen och deras skilda egenskaper viktiga att förstå. Men att utläsa alla strukturer i rummen är en väldig utmaning. De kan nämligen vara mycket rika på strukturer.

Den vanliga geometrin, där man räknar ut areor, kurvor och vinklar, räcker därmed ofta inte riktigt till.

– Geometri är ett ämne där det oftast är komplicerat att beskriva och förstå strukturer. Så om vi exempelvis vill studera klassiska knutar genom symplektiska rum, så kvarstår frågan om hur vi ska förstå det symplektiska rummet, säger han.

Tar till algebra

Ett sätt att göra detta på är att ta algebra till hjälp. Det är en gren inom matematiken som nyttjar formler, ekvationer och algoritmer. Ett av Georgios Dimitroglou Rizells mål är att kunna beskriva rummen på ett beräkningsbart sätt med stöd av algebrans språk och metoder.

I dag förstår vi inte allt om fyrdimensionella rum, men vi förstår ännu mindre om symplektiska rum av dimension sex och uppåt. Det jag skulle vilja är att hitta verktyg för att förstå mer om rummen också i de högre dimensionerna. Men det är ett helt annat mysterium att lösa.

– Det är inte heller lätt, men en algebra är i princip mer beräkningsbar än ett rum.

Specifikt arbetar han och hans grupp med att utforska en algebraisk invariant, en slags konstant som mäter egenskaper hos rummet, som kallas Fukayakategorin.

Det är ett teoretiskt verktyg med vars hjälp forskarna kan göra beräkningar i syfte att särskilja olika symplektiska rum.

– Om två symplektiska rum är ekvivalenta så blir deras Fukayakategorier också ekvivalenta. Detta utgör en invariant som låter oss angripa problemet huruvida två symplektiska rum skiljer sig åt eller inte. På så vis kan vi studera frågan om två rum är ekvivalenta eller inte, som ett algebraiskt problem.

Dimitroglou Rizells projekt som Wallenberg Scholar är att vidareutveckla invarianten så att de mäter och urskiljer fler aspekter och egenskaper av dessa rum.

Många tillämpningar

Nya verktyg för att förstå fler symplektiska rum behövs inte minst inom den moderna matematiken och exempelvis cellbiologi.

Men Georgios Dimitroglou Rizell bär också på en vision om att i framtiden ta sig an de riktigt stora forskningsproblemen som lurar olösta inom hans fält.

Rummen i symplektisk geometri är abstrakta matematiska objekt och dimensionerna behöver inte ha någon koppling till något konkret världsligt fenomen. De symplektiska rummen har jämn dimension, och i låg dimension dvs två och fyra, förstår vi avsevärt mycket mer än vi gör i de högre dimensionella rummen exempelvis avseende klassifikation.

– I dag förstår vi inte allt om fyrdimensionella rum, men vi förstår ännu mindre om symplektiska rum av dimension sex och uppåt. Det jag skulle vilja är att hitta verktyg för att förstå mer om rummen också i de högre dimensionerna. Men det är ett helt annat mysterium att lösa.

Text Monica Kleja
Bild Magnus Bergström