Vid sitt skrivbord på KTH arbetar Petter Brändén helst med penna och papper då han stegvis tar sig fram till nya lösningar på problem inom sitt matematiska fält. Som Wallenberg Scholar har han tagit sikte på det problem som handlar om negativt beroende. 

Negativt beroende

Inom fysiken kan ett negativt beroende till exempel innebära att två storheter eller fenomen har en särskild slags relation till varandra: när den ena storheten ökar så minskar den andra. Ett enkelt exempel på negativt beroende i rörelse är en gungbräda på en lekplats. När barnet på ena sidan gungar upp, åker barnet på den andra sidan ned. 

– Inom medicin talar vi ofta om korrelation, till exempel att övervikt ger en större risk för hjärt-kärlsjukdom. Det motsvarar en positiv korrelation eller ett positivt beroende. Ett exempel på negativt beroende är då att regelbunden träning är negativt korrelerat med att dö i hjärt-kärlsjukdom, säger Petter Brändén.

Negativt beroende har på senare år blivit ett allt viktigare begrepp också inom matematiken. Att hitta sätt att påvisa negativt beroende har stor betydelse inom en rad matematiska områden som kombinatorik, algebraisk geometri, matematisk statistik och datavetenskap.

Men trots många försök har det varit svårt att få fram en fungerande matematisk teori för negativt beroende. Under de senaste åren har dock två framgångsrika teorier utvecklats. Petter Brändén är pionjären bakom den ena av teorierna. 

– Inom statistisk fysik och sannolikhetsteori utvecklades ganska bra teorier kring positivt beroende under 1970-talet. Men någon motsvarande fanns inte för negativt beroende förrän vi insåg att man kan använda egenskaper hos nollställen till polynom för att påvisa negativt beroende. Detta ledde till utvecklingen av en ny teori.

Ett polynom är ett algebraiskt uttryck där flera olika termer har kombinerats genom addition, subtraktion och multiplikation. Nollställena är de tillfällen då polynomet ger ett nollresultat. 

Två blir en

Efter det att Brändén publicerade sin metod arbetade den amerikanska matematikern June Huh med vissa problem om negativt beroende. Huh använde sig dock av andra delar av matematiken för att nå en lösning. Särskilt använde han algebraisk geometri och metoder från Hodgeteori. 

När Huh presenterade sin lösning så fanns plötsligt två parallella teorier inom negativt beroende. Sommaren 2018 föreläste Petter Brändén och June Huh samtidigt vid en sommarskola i Nordfjordeid i Norge. När de hörde varandras föreläsningar insåg båda likheterna mellan teorierna. 

– Strax därefter inledde vi ett samarbete och sedan gick det hela rätt fort. Tillsammans utvecklade vi metoden Lorentziska polynom som blev mycket lyckad och snabbt fick stor spridning. 

Den vetenskapliga artikeln som beskriver Lorentziska polynom publicerades 2019. Metoden har visat sig vara användbar för att angripa en rad problem inom olika områden. Ett av de mer klassiska är ”handelsresandeproblemet” som hör hemma inom datavetenskap och matematisk optimering. Enkelt uttryckt beskriver det uppgiften att finna den kortaste vägen för en handelsresande mellan en rad olika platser.

– Det finns flera exempel på forskning i gränslandet mellan Lorentziska polynom och datavetenskapen. Bland annat med målet att analysera och förbättra olika algoritmer. 

Men metoden har också vissa begränsningar. Även om den kan användas på fler problem så är metoden med Lorentziska polynom inte lika kraftfull som den metod Petter Brändén utvecklade tidigare. Därför har han tagit sig an uppgiften att vidareutveckla metoderna för att kunna angripa fler problem inom negativt beroende.

Ingen popstjärna

Först på universitetet fick Petter Brändén på allvar upp ögonen för matematiken. I gymnasieåldern var det i stället musik och litteratur han höll högst.

– Men så småningom kom jag till insikten att jag nog inte skulle bli någon popstjärna och sökte mig till teknisk fysik vid Chalmers. 

I Göteborg pluggade han även teoretisk filosofi och menar att matematik och filosofi har mycket gemensamt. 

För mig har det alltid funnits ett band mellan matematiken och filosofin. Matematiken gränsar ju till logiken som är en del av filosofin, och inom båda områden vill man förstå vad som är sanningen.

– I den åldern är det vanligt att man faller för ämnen som filosofi eller matematik där man får ge sig ut på ett sökande efter de stora sanningarna i livet. Till en början var det också min drivkraft, sen upptäckte jag min goda problemlösarförmåga. 

I dag kommer drivkraften från att utveckla en bättre förståelse för matematiken som han utvecklar. Oftast genom att timvis nöta sig fram vid skrivbordet men ibland kommer insikterna mer oväntat. Till exempel under en lunchpromenad han tog som doktorand. 

– Plötsligt så slogs jag av rätt insikt och efter tjugo minuter vid datorn hade jag ett färdigt motbevis för en viss matematisk förmodan. Då hade jag arbetat med samma problem under mer än två år utan framgång. 

Vid sidan om forskningen undervisar han på både grundnivå och doktorandnivå. 

– Att bara syssla med forskningen skulle bli enahanda. Det är bra att växla med undervisning som ger mindre press. Dessutom är det mycket tillfredsställande att få lära ut vad man kan till andra. 

Text Magnus Trogen Pahlén
Foto Magnus Bergström