Fördjupad algebraisk beskrivning av former och rum

Professor Gregory Arone får anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse till en postdoktoral tjänst för att rekrytera en forskare från utlandet till Matematiska institutionen vid Stockholms universitet.

Projektets ämne är algebraisk topologin. Man kan spåra ursprunget till området algebraisk topologi till mitten av 1700-talet och Eulers välkända formel för polyedrar. Den säger att för konvexa polyedrar är summan av antalet hörn och ytor minus antalet kanter alltid lika med 2. Det var först omkring 150 år senare som fransmannen Henri Poincaré lyckades skifta fokus från den klassiska geometrins studier av vinklar och avstånd till studier av formernas fundamentala struktur, vilket är topologins domän. På så sätt lade han grunden för modern algebraisk topologi.

Området utvecklades snabbt under 1900-talet, och de algebraiska metoderna blev gradvis mer sofistikerade och abstrakta, samtidigt som de kopplades allt starkare till andra grenar av matematiken. Till exempel knöts algebraisk topologi till den matematiska analysen genom den berömda Atiyah-Singers satsen om differentialekvationer, vilken av många betraktas som en av 1900-talets stora matematiska landvinningar.

Ur samspelet mellan algebra och topologi växte kategoriteorin fram, vilken numera har blivit ett oumbärligt verktyg, inte bara inom algebraisk topologi utan även inom algebraisk geometri, teoretisk fysik och datavetenskap. Kategoriteorins kalkyl för funktorer kan betraktas som analog med klassisk differentiell kalkyl för vanliga funktioner; till exempel motsvaras de vanliga polynomfunktionerna av så kallade polynomfunktorer. Att bättre förstå polynomfunktorerna är ett första mål för det planerade projektet. Det andra målet är att utveckla idén om en långtgående likhet mellan polynomfunktorer och en central del av den algebraiska topologin, kallad ekvivariant stabil homotopiteori.

Foto: Niklas Björling/Stockholms universitet