Enkla frågor om primtal svårast att besvara

Docent Lilian Matthiesen får anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse till en postdoktoral tjänst för att rekrytera en forskare från utlandet till Institutionen för matematik, KTH, Stockholm.

Ämnet för projektet är primtal, heltal som bara kan delas med 1 och sig själva (som 5, 7 eller 11). Många till synes enkla frågor om primtalen har lett till en drygt 2000 år lång utveckling inom matematikens talteori. Till exempel – hur många primtal finns det? Oändligt många, vilket greken Euklides bevisade redan 300 år före vår tideräkning. 

Ett mer precist svar ger primtalssatsen som ger en approximativ formel för antalet primtal upp till en given gräns. Frågan är hur stort felet blir i approximationerna för riktigt stora tal. Att felet är "optimalt litet" sägs i den berömda Riemannhypotesen från 1859. Hypotesen väntar fortfarande på sitt bevis, och många ser den som ett av de viktigaste olösta problemen inom all matematik.

I slutet av 1800-talet upptäcktes en annan egenskap som bara gäller stora tal och som har att göra med att alla heltal kan uttryckas som en produkt av primtal. En del produkter består av ett jämnt antal primtalsfaktorer, som 21 = 3 x 7 (2 faktorer), andra av ett udda antal, som 20 = 2x2x5 (3 faktorer). Sedan drygt 100 år tillbaka är det känt att andelen tal med udda antal faktorer närmar sig andelen tal med jämnt antal faktorer för riktigt långa intervall av heltal. 

Upptäckten att detta gäller även inom relativt korta intervall av stora heltal gjordes för bara några år sedan av Kaisa Matomäki från Finland tillsammans med Maksim Radziwill från Kanada. Deras arbete har öppnat helt nya vägar att tackla andra ännu olösta problem inom talteorin. I det planerade projektet kommer Lilian Matthiesen att utforska de nya metoderna vidare, och särskilt undersöka hur dessa i kombination med Riemannhypotesen kan tillämpas för ännu obesvarade frågor om primtalen.