Tobias Ekholm har alltid intresserat sig för både matematik och fysik, ämnen med en lång gemensam historia.

– På 1700-talet såg man nästan ingen skillnad på matematiker och fysiker och idag växer ämnena ihop igen. Vi har delvis samma problem att studera och olika angreppssätt gör det fruktbart för båda sidor.

Enligt Tobias sker forskningen i ett samspel där man kan dra nytta av varandras styrkor.

– Matematiker präglas av en stringent kultur av att bevisa saker ner i minsta detalj medan fysiker är mer liberala och använder en större verktygslåda för att söka de stora sambanden.

Vildare form av geometri 

Ett gränsöverskridande område är symplektisk geometri, en blomstrande gren av matematiken som Tobias kom i kontakt med under sin tid som postdoktor vid Stanford runt millennieskiftet. Symplektisk geometri ligger en bit från vanlig skolboksgeometri. Här handlar det om en vildare form av geometri som används där tvådimensionella areor måste bevaras och inte får förändras vid manipulering.

Begreppet går tillbaka till 1800-talet då den irländske matematikern Hamilton omformulerade ekvationerna för Newtons klassiska mekanik, till exempel hur planeterna rör sig i sina banor eller hur ett äpple faller. Tidigare hade det krävts mycket komplicerade beräkningar för att beskriva rörelserna, men nu fick formlerna ett geometriskt språk som gjorde de lättare att lösa. En symplektisk yta blev ett mått på de två sammanflätade storheterna läge och hastighet, en tvådimensionell geometri.

"Wallenberg Scholar-anslaget hjälper till att bygga en stark matematisk miljö på en hög nivå. Bland annat kan vi nu locka hit framstående postdoktorer från ställen som Stanford, Princeton och Berkeley. Helt plötsligt syns Uppsala på världskartan och vi blir en del av infrastrukturen i världen."

Tilltrasslade knutar

Men symplektisk geometri kan också användas för att studera ännu fler dimensioner – fyra, sex och så vidare – vilket har lett fram till ett modernt intresse för området. Här finns ett samband till en del av matematiken som kallas topologi och särskilt studier av knutar.

– Matematiska knutar handlar om hur man i rummet kan knyta en sorts tilltrasslade snören som man sätter ihop ändarna på.

Antalet knutar är oändligt och en av utmaningarna är att hitta nya beräkningsbara metoder för att skilja knutarna åt. Och här skedde ett överraskande sammanträffande för några år sedan. Tobias och hans kollegor lyckades identifiera en formel från ett matematiskt perspektiv, samtidigt som fysiker fann samma formel från sitt håll.

– Från början förstod vi inte hur vi kunde komma fram till samma sak. Det var nytt både för dem och för oss, men det uppstod ett nytt och slående samband mellan symplektisk geometri och topologisk strängteori.

Nästan som science fiction

Genombrottet har stimulerat till fortsatt forskning i gränslandet mellan matematik och strängteori. Bland annat handlar det om att sammanföra teorier som kan kasta nytt ljus över svårlösta problem. Ett exempel är en observation från fysikens värld som kallas gauge-strängdualitet. 

– Det är en fantastisk förutsägelse som kopplar ihop gaugeteori med strängteori och som nästan låter som science fiction för en matematiker. 

Problemet presenterades första gången i slutet på 1990-talet och har sedan dess varit ett centralt tema i den matematisk-fysiska världen.

– Men ingen har fattat riktigt hur det funkar och jag trodde aldrig att vi skulle förstå det helt och fullt. Men 2018 lyckades vi faktiskt förklara hur det går till matematiskt och vi har också identifierat en mekanism som kan komma till nytta inom fler områden.

Resultatet öppnar också för en ny förståelse av den så kallade M-teorin, som är ett sätt att försöka förena de olika varianter av strängteori som finns.

– Man kan se tecken på att M-teorin finns, men den är samtidigt flyktig. Men med den nya förståelsen kan vi börja få ett hum om vad topologisk M-teori skulle kunna vara och det öppnar spännande perspektiv.

Attraktiv forskningsmiljö

Anslaget Wallenberg Scholar under totalt tio år har skapat en ekonomisk stabilitet som gjort det möjligt att bygga upp en internationellt attraktiv forskningsmiljö.

– Nu kan vi locka hit några av de bästa talangerna som postdoktorer och gästforskare. Vi har också medel för att kunna ordna konferenser som attraherar flera av de största namnen.

Ett exempel är den återkommande konferensen String Math, som sommaren 2019 förlades till Uppsala. Bland föreläsarna fanns tre innehavare av Fieldsmedaljen, en av matematikens främsta utmärkelser, och tre Breakthrough Prize-vinnare. 

Personliga möten och tradering av kunskap är viktigt. Tobias har en förebild i Yakov Eliashberg, en portalfigur inom symplektisk geometri.

– Han har betytt mycket för mig och har en attityd till ämnet som är svår att sätta ord på, men som kanske kan jämföras med hur en författare eller en kompositör närmar sig sitt ämne.
Ibland kan de djupa traditionerna till och med återfinnas i kroppsspråket. En av Tobias handledare gick passgång vid svarta tavlan.

– Jag har senare sett exakt samma rörelsemönster hos andra framstående forskare med koppling till samma ursprungsmiljö och kan bara gissa hur långt bak i tiden denna koppling går. Det finns en kultur inom matematiken som överförs mellan generationerna, säger Tobias Ekholm.

Text Nils Johan Tjärnlund
Bild Magnus Bergström