Moln av punkter som modell för dataanalysen

Professor Sandra Di Rocco får anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse till en postdoktoral tjänst för att rekrytera en forskare från utlandet till Institutionen för matematik, KTH, Stockholm.

Många problem inom naturvetenskap och teknik beskrivs av system av polynomekvationer. För att förstå lösningar till ekvationssystem utvecklades en gren av matematiken kallad algebraisk geometri, där lösningarna länkas samman med motsvarande geometriska objekt. Exempelvis bildar mängden lösningar till en förstagradsekvation en linje, medan lösningar till vissa andragradsekvationer ger en cirkel. De flesta lösningsmängderna bildar invecklade former med rik geometrisk struktur i flera dimensioner. 

Geometriska objekt som representerar lösningsmängder till ekvationssystem kallas varieteter. Modern dataanalys för algebraiska ekvationer handlar alltså om att utforska geometriska egenskaper hos algebraiska varieteter. Ett exempel på en teknisk tillämpning av den algebraiska geometrin är den andragradsekvation i 8 variabler som beskriver alla möjliga positioner hos en robotarm.

Huvudmålet för det planerade projektet är att utveckla nya tekniker för att studera varieteternas geometri. Ett sätt att förstå formen hos en varietet är att hitta dess algebraiska invarianter – egenskaper som förblir desamma även om varieteten deformeras. Invarianterna beskriver varieteterna och underlättar att skilja olika varieteter åt: är invarianterna olika så är även varieteterna olika.  

Ett angreppssätt för att visualisera och bättre förstå formen på en varietet är att täcka den med ett moln av punkter. Det gäller att konstruera molnet så pass väl att det kan användas för att räkna ut de algebraiska invarianterna.