Gruppteori har rötter under tidigt 1800-tal, och används i dag inom alla grenar av matematiken. Den första att använda begreppet ”grupp” för att organisera objekt inom algebra och geometri var den unga franska matematikern Évariste Galois, som levde 1811-1832. Därefter har andra framstående matematiker byggt vidare på hans teori om grupper. 

En av dem som vandrar i Galois fotspår är Wushi Goldring, Wallenberg Academy Fellow vid Stockholms universitet, där han undervisar och forskar i matematik med fokus på nya gruppteoretiska tillämpningar.

Galois visade att objekt som organiserades och klassificerades med hjälp av grupper utgjorde en källa till mycket ny matematik– han lade grunden för abstrakt algebra och algebraisk geometri. 

Abstrakta strukturer

Algebra är en gren inom matematiken som använder abstrakt resonerande och studerar ekvationer och symmetrier, som inkluderar variabler, istället för att räkna med tal och de fyra räknesätten, vilket kallas aritmetik. 

Men till skillnad från grundskolealgebra – som räknar med specifika tal – fokuserar abstrakt algebra i större utsträckning på regler, mönster och abstrakta strukturer som grupper, ringar och kroppar.

Algebraisk geometri är ett ramverk som studerar geometri som finns dold under ytan i polynomekvationer. Dessa är ekvationer som definieras av summan av produkter av variabler – y eller x – och en koefficient, det vill säga ett tal som multipliceras med variabeln. 

Enligt Wushi Goldring är gruppteori ett mycket användbart verktyg för att analysera algebraisk geometri.

”Jag hoppas kunna använda grupper för att upptäcka nya geometriska objekt,” säger han.

Han var nyfiken på former redan tidigt i livet. Som barn på besök i Italien, där han gick i skola i några månader, lärde han sig att rita genom att använda linjal och passare. 

– Jag lärde mig hur man konstruerar en femhörning och andra former genom att dra streck och cirklar, berättar han.

Goldring är uppväxt i Los Angeles i Kalifornien, där han redan vid 14 års ålder började ta lektioner vid UCLA. Sin doktorsavhandling i matematik lade han senare fram 2011 vid anrika Harvard University i Massachusetts.

Ett universellt språk

Med ett öppet sinne och en intellektuell lekfullhet satsar han på att använda gruppteori för att förmå matematiken att växa och skapa ett universellt språk att förklara den med.

Hans fokus ligger på symmetrier hos objekten, som i sammanhanget utgörs av egenskaper hos former, figurer, tal och ekvationer som gör att de kan speglas, vridas eller flyttas utan att i grunden ändras.

Gruppteorin har redan från början spelat en avgörande roll i Langlands-programmet, men jag tror att vi ännu inte har upptäckt att den kan spela en ännu större roll.

– Tänk dig ett rektangulärt papper som du kan rotera och vända upp och ned på och flytta utan att dess fyrkantiga struktur förändras, säger Wushi Goldring, och vänder upp och ned på ett A4-ark.

Genom att kartlägga och klassificera objektens symmetrier går det att upptäcka nya och oanade klasser av grupper, berättar han.

– Att studera matematik utifrån symmetrier har varit mycket framgångsrikt. Galois lanserade ett fundamentalt exempel på varför man bör använda metoden, nämligen för att lösa polynomekvationer med hjälp av rötter.

En Galoisgrupp består i sin tur av symmetrier som beskriver hur rötterna till en polynomekvation kan byta plats med varandra, utan att de algebraiska sambanden mellan dem ändras.

Men – Èvariste Galois ville också använda sin teori för att lösa mer komplicerade polynomekvationer – vilka involverar geometriska objekt. 

Goldring forskar på flera inriktningar inom gruppteorin, inte minst undersöker han vilka nya egenskaper som utmärker polynomekvationer.

Vill pröva tidigare forskning

Ytterligare ett fokusområde är ”G-Zips.” Det är ett nyligen upptäckt ramverk för att organisera algebraiska geometriska objekt i grupper.

Teorin om G-Zips skapar en modell som generaliserar  eller för samman två saker. Den ena kallas Hodge-teorin, som kopplar samman polynomekvationer och algebraisk geometri med analys.

Den andra kallas Ekedahl–Oort-stratifieringen. En sådan stratifiering delar upp ett geometriskt objekt i delar och använder dessa samt relationerna mellan dem för att studera objektet.

Wushi Goldring och Jean-Stefan Koskivirta har också i en serie av artiklar använt G-Zips-ramverket för att bevisa hypoteser i Langlands-programmet. 

Det senare är ett djuplodande program som består av ett nätverk av hypoteser som kopplar ihop talteori och analys med Galoisgrupper och geometriska former.

– Jag tror att detta nätverk är den största upptäckten inom matematiken sedan Galois, säger han.

Goldring vill framöver studera de öppna frågor som matematikern Robert P. Langland och andra forskare tidigare fört fram i syfte att bättre förstå och besvara dem.

– Gruppteorin har redan från början spelat en avgörande roll i Langlands-programmet, men jag tror att vi ännu inte har upptäckt att den kan spela en ännu större roll.

Det finns också kopplingar mellan hans studier av symmetri och hans syn på livet. Goldring är mer intresserad av existensens helhet än av olikheter, och söker balans och harmoni i naturen.

Text Monica Kleja
Bild Magnus Bergström